根据您的描述,这应该是家私人诊所,如果其有正规的执业**,是可以向有关部门申请医疗器械使用资格的,也就是说这家私人诊所不是非法行医。建议您在镶牙前,先查看该家私人诊所是否具备医疗机构许可证,为您安排的医生是否具备执业**。如果各项证明都存在,可以在此镶牙。